提升树
提升树(boosting tree)是以分类树或回归树作为弱学习器的强学习器。
提升树模型用的是加法模型，算法用的是前向分步算法，弱学习器是决策树的集成学习方法。
提升树学习目标
- 加法模型
- 前向分步算法
- 提升树与AdaBoost算法
- 回归提升树流程
- 提升树优缺点
提升树引入
假设Nick的年龄是25岁。
- 第1棵决策树
把Nick的年龄设置成初始值0岁去学习，如果第1棵决策树预测Nick的年龄是12岁，即残差值为$25-12=13$
- 第2课决策树
- 把Nick的年龄设置成残差值13岁去学习，如果第2棵决策树能把Nick分到13岁的叶子节点，累加两棵决策树的预测值加和$12+13=25$，就是Nick的真实年龄25岁
- 如果第2棵决策树的得到的是10岁，残差值为$25-12-10=3$
- 第3课决策树
把Nick的年龄设置成残差值3岁去学习……
- 继续重复上述过程学习，不断逼近Nick的真实年龄
提升树详解
加法模型
提升树模型可以表示为决策树的加法模型
$$
fM(x)=\sum{i=1}^MT(x;\theta_m)
$$
其中$T(x;\theta_m)$表示决策树；$\theta_m$表示决策树的参数；$M$为树的个数。
前向分步算法
提升树模型使用的是前向分布算法，即假设初始提升树$f_0(x)=0$，第$m$步的模型是
$$
fm(x)=f{m-1}(x)+T(x;\thetam)
$$
其中$f{m-1}(x)$为当前模型，通过经验风险极小化确定一下课决策树的参数$\theta_m$
$$
\hat{\thetam}=\underbrace{arg\,min}{\thetam}\sum{i=1}^mL(yi,f{m-1}(x_i)+T(x_i;\theta_m))
$$
提升树与AdaBoost算法
AdaBoost算法使用的是前向分步算法，利用前一轮弱学习器的误差率更新训练数据的权重；提升树使用的也是前向分步算法，但是提升树如其名，他的弱学习器只能使用决策树，一般使用CART树，然后他的迭代思路也与AdaBoost算法不同
假设提升树在$t-1$轮的强学习器为$f{t-1}(x)$，目标函数是
$$
L(y,f{m-1}(x))
$$
在第$t$轮的目标则是找到一个弱学习器(决策树)$h_t(x)$，最小化第$t$轮的目标函数
$$
L(y,f_m(x))=L(yi,f{m-1}(x)+T(x;\theta_m))
$$
但是当AdaBoost算法中的弱学习器为二类分类树的时候，其实AdaBoost就是提升树，即可以说分类提升树算法是AdaBoost算法的一种特殊情况。
回归提升树
有$m$个数据$n$个特征的训练数据集$T={(x_,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)}$，如果将输入空间划分为$k$互不相交的区域$R_1,R_2,\cdots,R_j$，并且在每个区域上确定输出的常量$cj$，决策树可以表示为
$$
T(x;\theta)=\sum{j=1}^Jc_jI(x\in{R_j})
$$
其中，$\theta={(R_1,c_1),(R_2,c_2),\cdots,(R_J,c_J)}表示树的区域划分和各区域上的常数，$J$是回归树的叶节点个数。
前向分步算法
$$
\begin{align}
& f_0(x)=0 \
& f_1(x)=f_0(x)+T(x;\theta_1) \
& \cdots \
& fm(x)=f{m-1}(x)+T(x,\theta_m),m=1,2,\cdots,M \
& fM(x)=\sum{m=1}^MT(x;\theta_m)
\end{align}
$$
在第$m$步$fm(x)=f{m-1}(x)+T(x,\thetam)$的时候，给定了$f{m-1}(x)$，需要求解第$m$棵的参数$\hat{\theta_m}$
$$
\hat{\thetam} = \underbrace{arg\,min}{\thetam}\sum{i=1}^mL(yi,f{m-1}(x_i)+T(x_i;\theta_m))
$$
平方误差损失函数
对于第$m$棵树的参数$\hat{\thetam}$，可以采用平方误差损失函数$L(y,f(x))=(y-f(x))^2$求解，树的损失变为
$$
\begin{align}
L(y,f{m-1}(x)+T(x;\thetam)) & = [y-f{m-1}(x)-T(x;\theta_m)]^2 \
& = [r-T(x;\thetam)]^2
\end{align}
$$
其中$r=y-f{m-1}(x)$是当前模型拟合数据的残差。
对于回归提升树，只需简单地拟合当前模型的残差。
回归提升树流程
输入
有$m$个数据$n$个特征的训练数据集$T={(x_,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)}$。
输出
回归提升树$f_M(x)$。
流程
- 初始化$f_0(x)=0$
- 对$m=1,2,\cdots,M$
- 计算残差$r_{mi}=yi-f{m-1}(x_i),\quad{i=1,2,\cdots,m}$
- 拟合残差$r_{mi}$学习一个回归树，得到$T(x;\theta_m)$
- 更新$fm(x)=f{m-1}(x)+T(x;\theta_m)$
- 得到回归提升树
$$
fM(x)=\sum{i=1}^MT(x;\theta_m)
$$
提升树优缺点
优点
- 既可以解决分类问题，又可以解决回归问题
缺点
- 弱学习器之间存在依赖关系，难以并行训练
- 提升树只是简单的拟合模型的残差，并不准确
小结
提升树属于Boosting系列算法，他和AdaBoost有相似之处的，并且当AdaBoost算法中的弱学习器为二类分类树的时候，梯度提升树就是一种特殊的AdaBoost算法。
由于提升树是由简单的残差计算得到的，所以在某种程度上来说，提升树是有一定缺陷的，为了解决这个问题，一般会采用梯度提升树来弥补。