第三篇:概率论-极大似然估计

极大似然估计

最大似然原理

极大似然估计

  极大似然估计是建立在最大似然原理的基础上的一个统计方法。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即“模型已定,参数未知”。通过观察若干次实验的结果,利用实验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率最大,则称为极大似然估计。

  简而言之,极大似然估计的目的是利用已知的样本结果,反推最有可能导致这样结果的参数值。

似然函数

  假设一个样本集$D$的$n$个样本都是独立同分布的,并且该样本集为
$$
D={x_1,x_2,\ldots,x_n}
$$
  似然函数(likelihood function):联合概率密度函数$p(D|\theta)$称为相对于${x_1,x_2,\ldots,x_n}$的$\theta$的似然函数。
$$
l(\theta) = p(D|\theta) = p(x_1,x_2,\ldots,xn|\theta) = \prod{i=1}^n p(x_i|\theta)
$$

极大似然函数估计值

  如果$\hat{\theta}$是$\theta$参数空间中能使似然函数$l(\theta)$最大的$\theta$值,则$\hat{\theta}$是最可能的参数值,那么$\hat{\theta}$是$\theta$的最大似然估计量,记作
$$
\hat{\theta} = d(x_1,x_2,\ldots,x_n) = d(D)
$$
并且$\hat{\theta}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$称作极大似然函数估计值。

求解极大似然函数

  给出求解最大$\theta$值的公式
$$
\hat{\theta} = arg \underbrace{max}\theta l(\theta) = arg \underbrace{max}\theta \prod_{i=1}^n p(xi|\theta)
$$
  为了方便计算,定义对数似然函数$H(\theta)$,即对似然函数求对数
$$
H(\theta) = \ln{l(\theta)}
$$
  因此求最大$\theta$值的公式变成了
$$
\hat{\theta} = arg \underbrace{max}
\theta H(\theta) = arg \underbrace{max}\theta \ln{l(\theta)} = arg \underbrace{max}\theta \prod_{i=1}^n \ln{p(x_i|\theta)}
$$
并且可以发现公式中只有一个变量$\theta$

未知参数只有一个

  如果$\theta$为标量,在似然函数满足连续、可微的情况下,则极大似然估计量是下面微分方程的解
$$
{\frac{dH(\theta)}{d\theta}} = {\frac{d\ln{l(\theta)}}{d\theta}} = 0
$$

位置参数有多个

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