条件概率

条件概率简介

  条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：$p(A|B)$，读作“在B的条件下A的概率”。若只有两个事件A，B，那么
$$
p(A|B) = {\frac{p(AB)}{p(B)}}
$$
其中$p(AB)$表示$A$和$B$同时发生的概率，$p(B)$表示$B$发生的概率。

条件概率推广

  上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。
  设$A_1,A_2,\ldots,{A_n}$为任意$n$个事件$(n\geq2)$且$p(A_1A_2\ldots{A_n})>0$，通过条件概率可得
$$
\begin{align}
p(A_1A_2\ldots{A_n}) & = p(A_1A2\ldots{A{n-1}})p(A_n|A_1A2\ldots{A{n-1}})\
& = p(A_1A2\ldots{A{n-2}})p(A_{n-1}|A_1A2\ldots{A{n-2}})p(A_n|A_1A2\ldots{A{n-1}}) \
& \cdots \
& = p(A_1)p(A_2|A_1)\cdots{p(A_n|A_1A2\ldots{A{n-1}})}
\end{align}
$$