贝叶斯决策
贝叶斯决策理论
贝叶斯决策理论:在不完全情报下,对部分未知的状态用主观概率估计。
贝叶斯公式
从条件概率公式推导贝叶斯公式
若果$A$和$B$相互独立,则有$p(A,B) = p(A)p(B)$,并有条件概率公式
$$
p(A|B) = {\frac{p(A,B)}{p(B)}} \
p(B|A) = {\frac{p(A,B)}{p(A)}} \
$$
通过条件概率可得
$$
p(A,B) = p(B|A)p(A) \
p(A|B) = {\frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}} \quad \text{简写的贝叶斯公式}
$$
$p(A|B)$:后验概率,B发生的情况下发生A的概率,需要计算的概率
$p(B|A)$:似然度,A假设条件成立的情况发生B的概率
$p(A)$:A的先验概率,也可以理解成一般情况下A发生的概率
$p(B)$:标准化常量,也可以理解成一般情况下B发生的概率
从全概率公式推导贝叶斯公式
[rml_readmore]:
全概率公式
$$
p(B) = \sum{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(Ai)} \quad \text{其中}\sum{i=1}^n{p(Ai)=1}
$$
通过全概率公式可得
$$
p(A|B) = {\frac{p(B|A)p(A)}{\sum{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(A_i)}}} \quad \text{完整的贝叶斯公式}
$$
贝叶斯公式应用
在数字通信中,由于随机干扰,因此接受的信号与发出的信号可能不同,为了确定发出的信号,通常需要计算各种概率。
如果发报机以0.6和0.4的概率发出信号0和1;
当发出信号0时,以0.7和0.2的概率收到信号0和1;
当发出信号1时,接收机以0.8和0.2收到信号1和0。
计算当接受机收到信号0时,发报机发出信号0的概率。
通过上述给出的数据可以得到以下推导
$p(A_0) = 0.6$:发报机发出信号0的概率
$p(A_1) = 0.4$:发报机发出信号1的概率
$p(B)=p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)$:发报机接收到信号0的概率
$p(B|A_0) = 0.7$:发报机发出信号0接收到信号0的概率
$p(B|A_1) = 0.2$:发报机发出信号1接收到信号0的概率
$$
\begin{align}
p(A_0|B) & = {\frac{p(B|A_0)p(A_0)}{p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)}} \
& ={\frac{0.60.7}{0.60.7 + 0.4*0.2}} \
& ={\frac{0.42}{0.50}} \
& =0.84
\end{align}
$$