贝叶斯决策

贝叶斯决策理论

  贝叶斯决策理论：在不完全情报下，对部分未知的状态用主观概率估计。

贝叶斯公式

从条件概率公式推导贝叶斯公式

若果$A$和$B$相互独立，则有$p(A,B) = p(A)p(B)$，并有条件概率公式
$$
p(A|B) = {\frac{p(A,B)}{p(B)}} \
p(B|A) = {\frac{p(A,B)}{p(A)}} \
$$
通过条件概率可得
$$
p(A,B) = p(B|A)p(A) \
p(A|B) = {\frac{p(B|A)p(A)}{p(B)}} \quad \text{简写的贝叶斯公式}
$$
  $p(A|B)$：后验概率，B发生的情况下发生A的概率，需要计算的概率

  $p(B|A)$：似然度，A假设条件成立的情况发生B的概率

  $p(A)$：A的先验概率，也可以理解成一般情况下A发生的概率

  $p(B)$：标准化常量，也可以理解成一般情况下B发生的概率

从全概率公式推导贝叶斯公式

[rml_readmore]：
全概率公式
$$
p(B) = \sum{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(Ai)} \quad \text{其中}\sum{i=1}^n{p(Ai)=1}
$$
通过全概率公式可得
$$
p(A|B) = {\frac{p(B|A)p(A)}{\sum{i=1}^n{p(B|A=A_i)p(A_i)}}} \quad \text{完整的贝叶斯公式}
$$

贝叶斯公式应用

  在数字通信中，由于随机干扰，因此接受的信号与发出的信号可能不同，为了确定发出的信号，通常需要计算各种概率。

    如果发报机以0.6和0.4的概率发出信号0和1；

    当发出信号0时，以0.7和0.2的概率收到信号0和1；

    当发出信号1时，接收机以0.8和0.2收到信号1和0。

    计算当接受机收到信号0时，发报机发出信号0的概率。

  通过上述给出的数据可以得到以下推导

    $p(A_0) = 0.6$：发报机发出信号0的概率

    $p(A_1) = 0.4$：发报机发出信号1的概率

    $p(B)=p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)$：发报机接收到信号0的概率

    $p(B|A_0) = 0.7$：发报机发出信号0接收到信号0的概率

    $p(B|A_1) = 0.2$：发报机发出信号1接收到信号0的概率

$$
\begin{align}
p(A_0|B) & = {\frac{p(B|A_0)p(A_0)}{p(A_0)p(B|A_0) + p(A_1)p(B|A_1)}} \
& ={\frac{0.60.7}{0.60.7 + 0.4*0.2}} \
& ={\frac{0.42}{0.50}} \
& =0.84
\end{align}
$$