最小角回归法

最小角回归相当于前向选择法和前向梯度法的一个折中算法，简化了前项梯度法因$\epsilon$的迭代过程，并在一定程度的保证了前向梯度法的精准度。

通常用最小角回归法解决线性模型的回归系数。对于一个有$m$个样本，每个样本有$n$个特征的训练集而言，假设可以拟合一个线性模型$Y=\omega^TX$，其中$Y$是$m1$的向量，$X$是$mn$的矩阵，$\omega$是$n*1$的向量。即可通过最小角回归法求得最小化该模型的参数$\omega$。

首先把矩阵$X$看成$n$个$m*1$的向量$X_i \quad(i=1,2,\cdots,n)$，之后选择与向量$Y$余弦相似度最大，即与$Y$最为接近的一个变量$Xi$，使用类似于前向选择法中的残差计算方法得到新的目标$Y{err}$，此时不同于前向梯度法的一小步一小步走，而是走到出现一个$X_j\quad(j=1,2,i-1,i+1,\cdots,n)$的时候，此时$Xi$和$Y{err}$的余弦相似度等于$Xj$和$Y{err}$的余弦相似度，这个时候残差$Y_{err}$沿着$X_i$和$X_j$的角平分线方向走，知道出现第三个特征$Xk$和$Y{err}$的相关度等于$Xi$和$Y{err}$的余弦相似度等于$Xj$和$Y{err}$的余弦相似度的时候，使用这三者的共同角平分线，作为残差$Y_{err}$的路径方向，直到所有变量取完了，停止算法，即可得到$\omega$。

举例

 # 举例图例
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.font_manager import FontProperties
%matplotlib inline
font = FontProperties(fname='/Library/Fonts/Heiti.ttc')
 
# X1*w1
plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(8, 5), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))
plt.text(6, 4.5, s='$X_1*\omega_1$', color='g')
# X1
plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(4, 5), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))
plt.text(2.5, 4.5, s='$X_1$', color='g')
# X2
plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(3, 7), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))
plt.text(2, 6, s='$X_2$', color='g')
# Y
plt.annotate(xytext=(2, 5), xy=(12, 8), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='k'))
plt.text(5, 7.5, s='$Y$', color='g')
 
# X1
plt.annotate(xytext=(8, 5), xy=(10, 5), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))
plt.text(8.5, 4.5, s='$X_1$', color='g')
# X2
plt.annotate(xytext=(8, 5), xy=(9, 7), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='r'))
plt.text(8, 6, s='$X_2$', color='g')
# w2(X1+X2)
plt.annotate(xytext=(8, 5), xy=(12, 8), s='', color='r',
             arrowprops=dict(arrowstyle="->", color='gray'))
plt.text(10.5, 6.3, s='$(X_1+X_2)\omega_2$', color='g')
 
plt.xlim(0, 13)
plt.ylim(2, 13)
plt.title('最小角回归法举例', fontproperties=font, fontsize=20)
plt.show()

上图假设$X$为$2$维，首先可以看出，离$Y$最接近的是$X_1$，首先在$X_1$上走一段距离，知道残差和$X_1$的相关度等于残差和$X_2$的相关度，即残差在$X_1$和$X_2$的角平分线上，由于$X$为$2$维，此时沿着角平分线走，直到残差足够小时停止，如果此时$X$不是$2$维，则继续选择第3个、第4个特征走下去。

最小角回归法优缺点

优点

特别适合特征维度高于样本数的情况

缺点

迭代方向是根据目标的残差定的，所以算法对训练集中的噪声特别敏感

小结

前向选择法由于涉及到投影，只能给出一个近似解；前向梯度法则需要自己手动调试一个很好的$\epsilon$参数；最小角回归法结合了两者的优点，但是至于算法具体好坏害的取决于训练集，即算法的稳定性无法保证。

对算法具体计算有兴趣的同学，可以参考Bradley Efron的论文《Least Angle Regression》，https://pan.baidu.com/s/10if9FGdkwEZ4_BolzCGszA ，如果你下载看了，恭喜你入坑。

最小角回归法

举例

最小角回归法优缺点

优点

缺点

小结

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